Środkowa i wysokość

Rysunek

Sposób rozwiązania zadania

Posługując się przystawaniem trójkątów i własnościami trójkąta (suma kątów trójkąta wynosi 180 stopni) obliczymy wszystkie kąty w zależności od kąta alfa i ustalimy proporcje odcinków w zależności od odcinków a oraz b.

Wysokość EF

Kluczem jest dorysowanie wysokości CF w trójkącie CEB i zauważenie, że trójkąt BEF jest połową trójkąta równobocznego.

Trójkąt równoboczny pozwala obliczyć miary kątów

Ponieważ trójkąt równoboczny ma wszystkie kąty równe 60 stopni, więc możemy obliczyć miarę kąta alfa.

Kąt alfa

Z warunków zadania wynika, że alfa = |<ACD| = |<DCE| = |<ECB|

Przystawanie trójkątów CDA i CDE

Trójkąt CDA jest przystający do trójkąta CDE na zasadzie przystawania trójkątów kbk (kąt bok kąt), gdyż:
alfa = |<ACD| = |<DCE|
Bok h = |CD| wspólny dla obu trójkątów
Kąty CDA i CDE są proste (CD wysokość)

Odcinki trójkątów CDA i CDE

Z przystawania trójkątów CDA i CDE otrzymujemy:
a = |DA| = |DE|
b = |CA| = |CE|
90 stopni - alfa = |<DAC| = |<DEC|

Odcinek EB

Odcinek EB ma długość 2a, gdyż jest równy długości odcinka AE (CE jest środkową)

Wysokość trójkąta BEC

Dorysowując odcinek EF - wysokość w trójkącie BEC otrzymujemy, że trójkąty CEF i CED są przystające na zasadzie kbk (kąt bok kąt), gdyż:
alfa = |<DCE| = |<ECB|
Odcinek b = |CE| jest wspólny dla obu trójkątów
90 stopni - alfa = |<CED| = |<CEF|

Długość odcinka EF

Z przystawania trójkątów CEF i CED wynika, że
a = |EF|
gdyż odcinki naprzeciw równym kątów są równe w przystających trójkątach.
W trójkącie CED naprzeciw kata alfa jest odcinek długości a, zatem, w trójkącie CEF naprzeciw kąta alfa jest również odcinek długości a.

Trójkąt FGB przystający do trójkąta FEB

Przedłużając odcinek EF o długość a otrzymujemy trójkąt FGB przystający do trójkąta FEB na zasadzie przystawania trójkątów bkb:
|EF| = |FG| = a (odcinek EF został przedłużony o odcinek FG o długości a)
90 stopni = |<BFE| = |<BFG|
Odcinek FB jest wspólny dla obu trójkątów

Trójkąt GEB jest równoboczny

Z przystawania trójkątów FGB i FEB wynika, że odcinek |GB| = |EB| = 2a (obydwa odcinki leżą naprzeciw kąta 90 stopni).
Zatem trójkąt GEB jest równoboczny - wszystkie boki mają długość 2a.