Trójkąt z zapałek

Sposób I

Założenia

Będziemy w dalszym ciągu stosować oznaczenia z poniższego rysunku:

Trójkąt prostokątny z oznaczeniami: przyprostokątne a, b oraz przeciwprostokątna c=25-a-b

Boki liczbami całkowitymi

Boki trójkąta są liczbami całkowitymi gdzie długość boku trójkąta oznacza liczbę zapałek użytych do zbudowania danego boku:

, ,

Boki liczbami naturalnymi

Suma boków trojkąta wynosi 25, zatem długość każdego z boków jest mniejsza od 25:

, ,

Wyznaczenie boku c

Suma boków trójkąta

Skoro jest to trójkąt prostokątny to możemy zastosować twierdzenie Pitagorasa. Ponieważ dana jest suma boków więc jedną ze zmiennych w twierdzeniu Pitagorasa można wyeliminować. Najwygodniej jest wyeliminować zmienną (przeciwprostokątna) z uwagi na symetrię przyprostokątnych - odcinków i . Zatem otrzymujemy:

Zależność między bokami trójkata prostokątnego, a+b+c=25

Wyliczenie boku c w zależności od boków a oraz b, c=25-a-b

Wyznaczenie a w zależności od b

Twierdzenie Pitagorasa

Podstawienie obliczonego wcześniej c do twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta prostokątnego, a^2+b^2=(25-a-b)^2

Podniesienie do kwadratu nawiasu po lewej stronie równania, a^2+b^2=625+a^2+b^2-50a-50b+2ab

Uporządkowanie równania, przeniesienie wyrazów z a na lewą stronę, wyrazów z b na prawą stronę, 50a-2ab=625-50b

Wyciągnięcie a przed nawias po lewej stronie równania, a(50-2b)=625-50b

Obliczenie a, podzielenie równania przez współczynnik przy a, a=(625-50b)/(50-2b)

Przekształcenie licznika prawej strony równania tak by można było wyeliminować zmienną b w liczniku, a=(25(50-2b)-625)/(50-2b)

Rozbicie ułamka po prawej stronie równania, a=25-625/(50-2b)

Wyłączenie liczby 2 w mianowniku ułamka po prawej stronie równania, a=25-625/(2(25-b))

Wykazanie braku istnienia całkowitych a oraz b

Otrzymujemy sprzeczność z warunkami zadania gdyż z powyższej zależności wynika, że nie może być całkowite dla całkowitych .

a nie jest całkowite

Wyrażenie

Ułamek będący prawą stroną równania: 625/(2(25-b))

nie jest liczbą całkowitą gdyż licznik jest nieparzysty (wynosi ) zaś mianownik parzysty (liczba całkowita równa ). Liczba nieparzysta nie może być podzielna przez liczbę parzystą w dziedzinie liczb całkowitych więc Ułamek będący prawą stroną równania: 625/(2(25-b))

nie jest liczbą całkowitą i w konsekwencji Zależność między a i b: a=25-625/(2(25-b))

też nie jest liczbą calkowitą czyli nie może być liczbą zapałek.