Cauchy - Szkoła Myślenia www.cauchy.pl//kolko/gimnazjum/3/ro     |     Dodaj do ulubionych25 luty 2020

Łamigłówki podstawowa

|

Przedszkolaki

|

Kolorowanki

|

Rebusy

|

Krzyżówki

|

Wykreślanki

|

Algorytmy

|

Zabawy

Matury z lat 2002 - 2005. Zadania, rozwiązania zadań, schemat punktacji

Poprzednie PoprzednieDo góry, menu nadrzędne, lista zadań Lista wszystkich tematówNastępne Następne

Trójkąt z zapałek

Zadanie nr 3 - Kółko matematyczne w gimnazjum

Rozwiązanie zadania

Sposób I

Założenia

Będziemy w dalszym ciągu stosować oznaczenia z poniższego rysunku:
Trójkąt prostokątny z oznaczeniami: przyprostokątne a, b oraz przeciwprostokątna c=25-a-b

Boki liczbami całkowitymi

Boki trójkąta są liczbami całkowitymi gdzie długość boku trójkąta oznacza liczbę zapałek użytych do zbudowania danego boku:
Zmienna a należy do zbioru liczb całkowitych, Zmienna b należy do zbioru liczb całkowitych, Zmienna c należy do zbioru liczb całkowitych

Boki liczbami naturalnymi

Suma boków trojkąta wynosi 25, zatem długość każdego z boków jest mniejsza od 25:
Zmienna a mniejsza od 25 i większa od 0, Zmienna b mniejsza od 25 i większa od 0, Zmienna c mniejsza od 25 i większa od 0

Wyznaczenie boku c

Suma boków trójkąta

Skoro jest to trójkąt prostokątny to możemy zastosować twierdzenie Pitagorasa. Ponieważ dana jest suma boków więc jedną ze zmiennych w twierdzeniu Pitagorasa można wyeliminować. Najwygodniej jest wyeliminować zmienną Zmienna c (przeciwprostokątna) z uwagi na symetrię przyprostokątnych - odcinków Zmienna a i Zmienna b. Zatem otrzymujemy:
Zależność między bokami trójkata prostokątnego, a+b+c=25
Wyliczenie boku c w zależności od boków a oraz b, c=25-a-b

Wyznaczenie a w zależności od b

Twierdzenie Pitagorasa

Twierdzenie Pitagorasa dla trójkąta prostokątnego, a^2+b^2=c^2
Podstawienie obliczonego wcześniej c do twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta prostokątnego, a^2+b^2=(25-a-b)^2
Podniesienie do kwadratu nawiasu po lewej stronie równania, a^2+b^2=625+a^2+b^2-50a-50b+2ab
Uporządkowanie równania, przeniesienie wyrazów z a na lewą stronę, wyrazów z b na prawą stronę, 50a-2ab=625-50b
Wyciągnięcie a przed nawias po lewej stronie równania, a(50-2b)=625-50b
Obliczenie a, podzielenie równania przez współczynnik przy a, a=(625-50b)/(50-2b)
Przekształcenie licznika prawej strony równania tak by można było wyeliminować zmienną b w liczniku, a=(25(50-2b)-625)/(50-2b)
Rozbicie ułamka po prawej stronie równania, a=25-625/(50-2b)
Wyłączenie liczby 2 w mianowniku ułamka po prawej stronie równania, a=25-625/(2(25-b))

Wykazanie braku istnienia całkowitych a oraz b

Otrzymujemy sprzeczność z warunkami zadania gdyż z powyższej zależności wynika, że Zmienna a nie może być całkowite dla całkowitych Zmienna b.

a nie jest całkowite

Wyrażenie Ułamek będący prawą stroną równania: 625/(2(25-b)) nie jest liczbą całkowitą gdyż licznik jest nieparzysty (wynosi Licznik ułamka - liczba 625) zaś mianownik parzysty (liczba całkowita równa Mianownik ułamka równy 2(25-b)). Liczba nieparzysta nie może być podzielna przez liczbę parzystą w dziedzinie liczb całkowitych więc Ułamek będący prawą stroną równania: 625/(2(25-b)) nie jest liczbą całkowitą i w konsekwencji Zależność między a i b: a=25-625/(2(25-b)) też nie jest liczbą calkowitą czyli nie może być liczbą zapałek.

Odp: Z 25 zapałek nie można zbudować trójkąta prostokątnego.


Sposób II

Założenia

Będziemy w dalszym ciągu stosować oznaczenia z poniższego rysunku:
Trójkąt prostokątny z oznaczeniami: przyprostokątne a, b oraz przeciwprostokątna c=25-a-b

Boki liczbami całkowitymi

Boki trójkąta są liczbami całkowitymi gdzie długość boku trójkąta oznacza liczbę zapałek użytych do zbudowania danego boku:
Zmienna a należy do zbioru liczb całkowitych, Zmienna b należy do zbioru liczb całkowitych, Zmienna c należy do zbioru liczb całkowitych

Boki liczbami naturalnymi

Suma boków trojkąta wynosi 25, zatem długość każdego z boków jest mniejsza od 25:
Zmienna a mniejsza od 25 i większa od 0, Zmienna b mniejsza od 25 i większa od 0, Zmienna c mniejsza od 25 i większa od 0

Obwód trójkąta prostokątnego

Ponieważ obwód trójkąta prostokątnego o bokach całkowitych musi być liczbą parzystą więc obwód ten nie może wynosić 25 (25 jest liczba nieparzystą).
Dowód faktu, ze obwód trójkąta prostokątnego o bokach całkowitych jest liczbą parzystą znajduje się w osobnym zadaniu - kliknij tu by zobaczyć zadanie i jego rozwiązanie.

Odp: Z 25 zapałek nie można zbudować trójkąta prostokątnego.


PoprzednieDo góry, menu nadrzędne, lista zadańNastępne
PoprzednieLista wszystkich tematówNastępne


Nie znalazłeś szukanej treści?
Poszperaj w serwisie cauchy.pl lub w sieci.
Google
 
Korepetycje, korepetycje z języka polskiego
 
Internetowe kursy maturalne z matematyki
 

Newsletter

Tak, chcę otrzymywać bezpłatny newsletter:

Imię:

Email:

 
 
(C) 2010 Szkoła Myślenia im. A. L. Cauchy        Napisz Napisz        Praca     Reklama
   korepetycje z matematyki