Podzielność przez 3

Podział liczb naturalnych ze względu na podzielność przez 3

Liczby naturalne n możemy podzielić ze względu na podzielność przez 3 na trzy grupy:
1) dzielące się przez 3: postaci 3k, gdzie
2) dające resztę 1 przy dzieleniu przez 3: postaci 3k+1, gdzie
3) dające resztę 2 przy dzieleniu przez 3: postaci 3k+2, gdzie
Wszystkie liczby n niepodzielne przez 3 są postaci 3k+1 lub 3k+2.

Dowód tezy zadania dla liczb dających resztę 1 przy dzieleniu przez 3

Sprawdzam, czy dla liczb n postaci 3k+1 wyrażenie jest podzielne przez 3. gdzie i .
Zatem dla n = 3k+1 wyrażenie jest podzielne przez 3.

Dowód tezy zadania dla liczb dających resztę 2 przy dzieleniu przez 3

Sprawdzam, czy dla liczb n postaci 3k+2 wyrażenie jest podzielne przez 3. gdzie i .

Dowód tezy zadania

Zatem dla wsyzstkich n niepodzielnych przez 3 (n = 3k+1 oraz n = 3k+2) wyrażenie jest podzielne przez 3, co należało dowieść (cnd).