Obwód trójkąta prostokątnego

Sposób I

Założenia

Będziemy w dalszym ciągu stosować oznaczenia z poniższego rysunku:

Boki liczbami całkowitymi

Boki trójkąta są liczbami całkowitymi:

Parzystość/nieparzystość długości odcinków

Twierdzenie Pitagorasa

Dla trójkąta prostokątnego możemy stosować Twierdzenie Pitagorasa:

Możliwe przypadki

Prawa strona równania (A) jest liczbą parzystą, więc lewa strona też musi być liczbą parzystą. Zatem w równaniu (A) musi zachodzić jeden z poniższych dwóch przypadków dla liczb , , :
     1) Wszystkie liczby są parzyste (suma i róznica liczb parzystych daje liczbe parzysta)
     2) Dwie liczby są nieparzyste, jedna jest parzysta (suma jak również różnica dwóch liczb nieparzystych daje liczbę parzystą, otrzymana liczba parzysta w połączeniu - dodawanie lub odejmowanie - z pozostałą liczbą parzystą daje w efekcie liczbę parzystą)

Przypadki niemożliwe

Pozostałe przypadki w równaniu (A) gdy:
     3) Jedna z liczb , lub jest nieparzysta
     4) Wszystkie liczby są nieparzyste
dają lewą stronę równania (A) nieparzystą czyli rózną od 0 więc nie mogą zachodzić.

Obwód trójkąta

W każdym z możliwych przypadków - zarówno w przypadku 1) jak i 2) - obwód trójkąta () jest liczbą parzystą gdyż:
     dla przypadku 1): Suma trzech liczb parzystych jest parzysta
     dla przypadku 2): Suma dwóch liczb nieparzystych i jednej parzystej jest parzysta.
Tym samym dowiedliśmy tezy:

Trójkąt prostokątny o bokach całkowitych ma obwód którego wielkość jest liczbą parzystą.

---

Sposób II

Założenia

Będziemy w dalszym ciągu stosować oznaczenia z poniższego rysunku:

Boki liczbami całkowitymi

Boki trójkąta są liczbami całkowitymi:

Parzystość / nieparzystość długości odcinków

Twierdzenie Pitagorasa

Dla trójkąta prostokątnego możemy stosować Twierdzenie Pitagorasa:

Parzystość / nieparzystość obwodu trójkąta

Mamy więc, że jest liczbą parzystą. Ponieważ zamiana dodawania na odejmowanie nie ma wpływu na parzystość wyniku więc jest również liczbą parzystą. Ponieważ podniesienie do kwadratu nie zmienia parzystości liczby więc również jest liczbą parzystą. Ponieważ jest obwodem rozważanego trójkąta prostokątnego zatem otrzymujemy tezę:

Trójkąt prostokątny o bokach całkowitych ma obwód będący liczbą parzystą.