Cauchy - Szkoła Myślenia www.cauchy.pl//kolko/gimnazjum/4/ro     |     Dodaj do ulubionych22 listopad 2014

Teoria

|

Łamigłówki podstawowa

|

Przedszkolaki

|

Kolorowanki

|

Programowanie

|

Podróże

|

Zabawy

|

Różności

|

Systemy



Poprzednie PoprzednieDo góry, menu nadrzędne, lista zadań Lista wszystkich tematówNastępne Następne

Obwód trójkąta prostokątnego

Zadanie nr 4 - Kółko matematyczne w gimnazjum

Rozwiązanie zadania

Sposób I

Założenia

Będziemy w dalszym ciągu stosować oznaczenia z poniższego rysunku:
Trójkąt prostokątny z oznaczeniami: przyprostokątne a, b oraz przeciwprostokątna c

Boki liczbami całkowitymi

Boki trójkąta są liczbami całkowitymi:
Zmienna a należy do zbioru liczb całkowitych, Zmienna b należy do zbioru liczb całkowitych, Zmienna c należy do zbioru liczb całkowitych

Parzystość/nieparzystość długości odcinków

Twierdzenie Pitagorasa

Dla trójkąta prostokątnego możemy stosować Twierdzenie Pitagorasa:
Twierdzenie Pitagorasa dla trójkąta prostokątnego, a^2+b^2=c^2
Przekształcone twierdzenie Pitagorasa dla trójkąta prostokątnego, a^2+b^2-c^2=0        (A)

Możliwe przypadki

Prawa strona równania (A) jest liczbą parzystą, więc lewa strona też musi być liczbą parzystą. Zatem w równaniu (A) musi zachodzić jeden z poniższych dwóch przypadków dla liczb Zmienna a, Zmienna b, Zmienna c:
     1) Wszystkie liczby są parzyste (suma i róznica liczb parzystych daje liczbe parzysta)
     2) Dwie liczby są nieparzyste, jedna jest parzysta (suma jak również różnica dwóch liczb nieparzystych daje liczbę parzystą, otrzymana liczba parzysta w połączeniu - dodawanie lub odejmowanie - z pozostałą liczbą parzystą daje w efekcie liczbę parzystą)

Przypadki niemożliwe

Pozostałe przypadki w równaniu (A) gdy:
     3) Jedna z liczb Zmienna a, Zmienna b lub Zmienna c jest nieparzysta
     4) Wszystkie liczby są nieparzyste
dają lewą stronę równania (A) nieparzystą czyli rózną od 0 więc nie mogą zachodzić.

Obwód trójkąta

W każdym z możliwych przypadków - zarówno w przypadku 1) jak i 2) - obwód trójkąta (Obwód trójkąta prostokątnego o bokach całkowitych rozpatrywanego w rozwiązaniu zadania) jest liczbą parzystą gdyż:
     dla przypadku 1): Suma trzech liczb parzystych jest parzysta
     dla przypadku 2): Suma dwóch liczb nieparzystych i jednej parzystej jest parzysta.
Tym samym dowiedliśmy tezy:

Trójkąt prostokątny o bokach całkowitych ma obwód którego wielkość jest liczbą parzystą.


Sposób II

Założenia

Będziemy w dalszym ciągu stosować oznaczenia z poniższego rysunku:
Trójkąt prostokątny z oznaczeniami: przyprostokątne a, b oraz przeciwprostokątna c

Boki liczbami całkowitymi

Boki trójkąta są liczbami całkowitymi:
Zmienna a należy do zbioru liczb całkowitych, Zmienna b należy do zbioru liczb całkowitych, Zmienna c należy do zbioru liczb całkowitych

Parzystość / nieparzystość długości odcinków

Twierdzenie Pitagorasa

Dla trójkąta prostokątnego możemy stosować Twierdzenie Pitagorasa:
Twierdzenie Pitagorasa dla trójkąta prostokątnego, a^2+b^2=c^2
Przekształcone twierdzenie Pitagorasa dla trójkąta prostokątnego, a^2+b^2-c^2=0

Parzystość / nieparzystość obwodu trójkąta

Mamy więc, że Lewa strona równania wynikającego z twierdzenia Pitagorasa: a^2+b^2-c^2 jest liczbą parzystą. Ponieważ zamiana dodawania na odejmowanie nie ma wpływu na parzystość wyniku więc Lewa strona równania wynikającego z twierdzenia Pitagorasa wraz z zamianą znaku zmiennej c^2: a^2+b^2+c^2 jest również liczbą parzystą. Ponieważ podniesienie do kwadratu nie zmienia parzystości liczby więc również Obwód trójkąta prostokątnego o bokach całkowitych rozpatrywanego w rozwiązaniu zadania jest liczbą parzystą. Ponieważ Obwód trójkąta prostokątnego o bokach całkowitych rozpatrywanego w rozwiązaniu zadania jest obwodem rozważanego trójkąta prostokątnego zatem otrzymujemy tezę:

Trójkąt prostokątny o bokach całkowitych ma obwód będący liczbą parzystą.


PoprzednieDo góry, menu nadrzędne, lista zadańNastępne
PoprzednieLista wszystkich tematówNastępne


Nie znalazłeś szukanej treści?
Poszperaj w serwisie cauchy.pl lub w sieci.
Google
 
 
Korepetycje, korepetycje z języka polskiego
 
Tabliczka mnożenia - tapeta
 
Tapeta ze wzorami dotyczącymi logarytmów i funkcji logarytmicznej
 
(C) 2010 Szkoła Myślenia im. A. L. Cauchy        Napisz Napisz        Praca     Reklama
   korepetycje z języka niemieckiego