Zera na końcu

Początek i koniec rozpatrywanego iloczynu

Sprawdzamy ile zer ma na końcu wynik następującego iloczynu: 1*2*3*4*5*6*7*8*9*10*11*12*13*...*1597*1598*1599*1600*1601*1602

Kiedy otrzymujemy zera na końcu

Dodatkowe zera w iloczynie otrzymujemy, gdy pojawia się liczba podzielna przez 5, na przykład:
5, 10, 100, 115, 625, itd.
Naturalnie warunkiem jest by dla liczb zakończonych piątką (5, 75, 125, itd.) istniała liczba parzysta, przez którą należy pomnożyć liczbę zakończona piątką by na końcu uzyskać zero. W przypadku iloczynu liczb od 1 do 1602 liczb parzystych jest wystarczająco dużo, by przyjąć, że każda pojawiająca się w iloczynie liczba podzielna przez 5 da dodatkowe zera na końcu.

Liczby podzielne przez 5

Wiemy, że każde pojawienie się liczby podzielnej przez 5 daje na pewno jedno zero w iloczynie. Czyli na końcu będziemy mieć zer:
1602 / 5 = 320 reszty 2
czyli 320 zer

Liczby podzielne przez 25

Zauważmy, że każde pojawienie się w iloczynie liczby podzielnej przez 25 daje 2 zera na końcu wyniku iloczynu, na przykład:
   25 * 4 = 100
   25 * 128 = 3200
   75 * 4 = 300
   75 * 128 = 9600
   100 * 2 = 200
   100 * 19 = 1900
Liczb podzielnych przez 25 mamy w iloczynie liczb od 1 do 1602 następującą ilość:
   1602 / 25 = 64 reszty 2
Czyli otrzymujemy dzięki tym liczbom 64 * 2 zera na końcu naszego iloczynu.
Jednak już liczyliśmy jedno zero liczb podzielnych przez 25 (wszak są one podzielne przez 5) zatem dochodzi nam do wyniku tylko drugie (dodatkowe) zero.
Zatem doliczamy 64 dodatkowe zera

Liczby podzielne przez 125

Zauważmy, że każde pojawienie się w iloczynie liczby podzielnej przez 125 daje 3 zera na końcu wyniku iloczynu, na przykład:
   125 * 8 = 1000
   125 * 32 = 4000
   875 * 8 = 7000
   875 * 64 = 56000
   1000 * 1 = 1000
   1000 * 11 = 11000
Liczb podzielnych przez 125 mamy w iloczynie liczb od 1 do 1602 następującą ilość:
   1602 / 125 = 12 reszty 2
Czyli otrzymujemy dzięki tym liczbom 12 * 3 zera na końcu naszego iloczynu.
Jednak już liczyliśmy dwa zera liczb podzielnych przez 125 (wszak są one podzielne przez 5 i 25) zatem dochodzi nam do wyniku tylko trzecie (unikalne) zero.
Zatem doliczamy 12 dodatkowe zera

Liczby podzielne przez 625

Zauważmy, że każde pojawienie się w iloczynie liczby podzielnej przez 625 daje 4 zera na końcu wyniku iloczynu, na przykład:
   625 * 16 = 10000
   625 * 128 = 80000
   10000 * 5 = 50000
   10000 * 7 = 70000
Liczb podzielnych przez 625 mamy w iloczynie liczb od 1 do 1602 następującą ilość:
   1602 / 625 = 2 reszty 2
Czyli otrzymujemy dzięki tym liczbom 2 * 4 zera na końcu naszego iloczynu.
Jednak już liczyliśmy trzy zera liczb podzielnych przez 625 (wszak są one podzielne przez 5, 25 oraz 125) zatem dochodzi nam do wyniku tylko czwarte (unikalne) zero.
Zatem doliczamy 2 dodatkowe zera

Liczby podzielne przez 3125

Kolejne liczby zwiększające ilość zer na końcu iloczynu to liczby podzielne przez 3125 (dają 5 zer na końcu). Jednak nasz iloczyn nie zawiera takich liczb gdyż kończy się na 1602.

Ilość zer na końcu iloczynu liczb od 1 do 1602

Ilość zer na końcu iloczynu liczb od 1 do 1602 będzie sumą liczby zer:

zer powstałych z wystąpienia w iloczynie liczby podzielnej przez 5 (320)
dodatkowych zer powstałych z wystąpienia w iloczynie liczby podzielnej przez 25 (64)
dodatkowych zer powstałych z wystąpienia w iloczynie liczby podzielnej przez 125 (12)
dodatkowych zer powstałych z wystąpienia w iloczynie liczby podzielnej przez 625 (2)

Zatem zer na końcu iloczynu liczb od 1 do 1602 będzie:
320 + 64 + 12 + 2 = 398