Cauchy - Szkoła Myślenia www.cauchy.pl//kolko/gimnazjum/5/ro     |     Dodaj do ulubionych25 luty 2020

Łamigłówki podstawowa

|

Przedszkolaki

|

Kolorowanki

|

Rebusy

|

Krzyżówki

|

Wykreślanki

|

Algorytmy

|

Zabawy

Tabliczka mnożenia - tapeta

Poprzednie PoprzednieDo góry, menu nadrzędne, lista zadań Lista wszystkich tematówNastępne Następne

Środki boków czworokąta

Zadanie nr 5 - Kółko matematyczne w gimnazjum

Rozwiązanie zadania

Rysunek

Czworokąt dany w warunkach zadania.

Dowodzę, żę czworkąt HEFG jest równoległobokiem.

Odcinek HG równoległy do odcinka AC

Rozpatruję kąt ADC

|AH| = |HD| = w
oraz
|DG| = |GC| = z

Proporcje odcinków

Zauważam, że:
Stosunek odcinków na boku DA: |DH| / |DA| = w / 2w = 1/2     (1)
Stosunek odcinków na boku DC: |DG| / |Dc| = z / 2z = 1/2
Wobec tego zachodzi równość:
Stosunek odcinków na bokach DA i DC: |DH| / |DA| = |DG| / |Dc| = 1/2
Zatem na mocy twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Talesa odcinki HG i AC są równoległe (HG || AC)       (2)

Odcinek EF równoległy do odcinka AC

Podobnie rozpatrując kąt ABC otrzymuję, że odcinki EF i AC są równoległe (EF || AC)

Odcinek HG równoległy do odcinka EF

Ponieważ relacja równości jest przechodnia i symetryczna, więc jeśli HG || AC oraz EF || AC zatem otrzymujemy, że HG || EF.

Odcinek HE równoległy do odcinka GF

Podobnie rozpatrując kąty DAB oraz DCB otrzymam, że odcinki HE i GF są równoległe (HE || GF).

Czworokąt HEFG równoległobokiem

Otrzymaliśmy, że czworokąt HEFG ma przeciwległe boki równoległe (HG || EF oraz HE || GF). Na mocy własności równoległoboku oznacza to, że czworokąt HEFG jest równoległobokiem.

Dowodzę, żę czworokąt równoległobok HEFG ma pole równe połowie pola czworokąta ABCD.

Pole trójkąta HDG

Podobieństwo trójkątów HDG oraz ADC

Trójkąty HDG oraz ADC są podobne na podstawie cechy podobieństwa kąt-kąt, gdyż:
||2)), zaś kąty DHG oraz DAC są odpowiadające.

Skala podobieństwa trójkątów HDG, ADC

Skala podobieństwa trókątów HDG oraz ADC wynosi 1/2, gdyż (patrz (1)):
Stosunek odcinków na boku DA: |DH| / |DA| = w / 2w = 1/2

Stosunek pól trójkątów HDG, ADC

Zatem stosunek pól trókątów HDG oraz ADC wynosi:
Stosunek pól trójkątów HDG, ADC: P(HDG) / P(ADC) = (1/2)^2 = 1/4

Pole trójkąta HDG

Pole trójkąta HDG: P(HDG) = (1/4)*P(ADC)       3

Pole trójkąta EFB

Podobnie rozpatrując trókąty EFB oraz ACB otrzymuję:
Pole trójkąta EFB: P(EFB) = (1/4)*P(ACB)       4

Suma pól trójkątów HDG i EFB

Dodając stronami równania (3) oraz (4) otrzymuję:
Suma pól trójkątów HDG i EFB: P(HDG) + P(EFB) = (1/4)(P(ADC)+P(ACB))       5
Suma pól trójkątów HDG i EFB: P(HDG) + P(EFB) = (1/4)(P(ADC)+P(ACB))       6
Równość (6) zachodzi, gdyż trójkąty ACD oraz ABC dają razem czworokąt ABCD.

Suma pól trójkątów HEA i FGC

Podobnie zachodzą zależności analogiczne do zależności (5) i (6):
Suma pól trójkątów HEA i FGC: P(HEA) + P(FGC) = (1/4)(P(ABD)+P(BDC))       7
Suma pól trójkątów HDG i EFB: P(HEA) + P(FGC) = (1/4)(PABCD)       8

Suma pól trójkątów małych trójkątów

Sumując zależności (6) oraz (8) otrzymuję:
Suma pól trójkątów HDG, EFB, HEA i FGC: P(HDG) + P(EFB) + P(HEA) + P(FGC) = (1/4)P(ABCD)+(1/4)P(ABDC)
Suma pól trójkątów HDG, EFB, HEA i FGC: P(HDG) + P(EFB) + P(HEA) + P(FGC) = (1/2)P(ABCD)       9

Pole równoległoboku

Wykazałem więc, że suma pól powstałych czterech trójkątów jest równa połowie pola wyjściowego czworokąta. Ponieważ równoległobok oraz cztery trójkąty dają w sumie cały czworokąt, więc pole równoległoboku również musi być równe połowie pola wyjściowego czworokąta.
Przeprowadzając formalny dowód powyższego:
Suma pól trójkątów HDG, EFB, HEA, FGC oraz równoległoboku EFGH: P(HDG) + P(EFB) + P(HEA) + P(FGC) + P(EFGH)= P(ABCD)
Podstawiając (9):
(1/2)P(ABCD) + P(EFGH) = P(ABCD)
P(EFGH) = (1/2)P(ABCD)
c.n.d. (co Należało Dowieść)

PoprzednieDo góry, menu nadrzędne, lista zadańNastępne
PoprzednieLista wszystkich tematówNastępne


Nie znalazłeś szukanej treści?
Poszperaj w serwisie cauchy.pl lub w sieci.
Google
 
 
 
Matury z lat 2002 - 2005. Zadania, rozwiązania zadań, schemat punktacji
 
Korepetycje, korepetycje z języka polskiego
 
(C) 2010 Szkoła Myślenia im. A. L. Cauchy        Napisz Napisz        Praca     Reklama
   korepetycje