		www.cauchy.pl//matura/o_2007_05_14_p/6/ro \| Dodaj do ulubionych	08 luty 2012
	Matura \| Średnia \| Egzamin gimnazjalny \| Gimnazjum \| Test 6 klasa \| Podstawowa \| Konkursy \| Kółko \| Klasówki

Matury z lat 2002 - 2005. Zadania, rozwiązania zadań, schemat punktacji

Lista wszystkich tematów

Następne

Zadanie nr 6, Wielomian, (4 pkt)

Oficjlna matura z matematyki, profil podstawowy, 14 maj 2007

Rozwiązanie zadania

Podpunkt a) Rozwiązanie równania

x(x-pierwiastek(7))(x+pierwiastek(7)) = 0

x = 0 v x = pierwiastek(7) v x = pierwiastek(7)

Odpowiedź: Rozwiązaniem równania są następujace liczby: .

Podpunkt b) Dobrać wartości a i b, tak aby wielomian W(x) dzilił sie bez reszty przez (x-2) oraz (x+3).

Na podstawie twierdzenia Bezout otrzymujemy:
W(2) = 0, ponieważ W(x) dzieli się bez reszty przez (x-2)
W(-3) = 0, ponieważ W(x) dzieli się bez reszty przez (x+3) czyli (x-(-3))
co daje nam układ równań:

Układ równań: (1): W(2) = 0, (2): W(-3) = 0

Układ równań: (1): 2*2^3 - a*2^2 - 14*2 + b = 0, (2): 2*(-3)^3 + a*(-3)^2 - 14*(-3) + b = 0

Układ równań: (1): 16 + 4a - 28 + b = 0, (2): -54 + 9a + 42 + b = 0

Układ równań: (1): 4a + b = 12 |*(-1), (2): 9a + b = 12

Układ równań: (1): -4a - b = -12, (2): 9a + b = 12

Dodając równania stronami otrzymujemy:

Podstawiajac obliczone a=0 do pierwszego równania otrzymujemy:

Odpowiedź: Wielomian W(x) dzieli się przez (x-2) oraz przez (x+3) dla a=0 oraz b=12.

Dodatkowy komentarz:

Możemy także napisać wynikową postać wielomianu W(x), który spełnia warunki postawione w punkcie b): dzieli się przez (x+2) oraz przez (x+3) - czyli gdy a=0 oraz b=12 :

czyli

Łatwo możemy sprawdzić, że x=2 jest pierwiastkiem powyższego wielomianu W(x) - czyli W(2)=0. Podobnie x=-3 jest pierwiastkiem W(x), gdyż W(-3)=0.
Nie umieszczajmy jednak tego w treści rozwiązania - nie wymaga tego treść zadania. Ewentualna nadgorliwość i błąd (nawet rachunkowy) może skutkować mniejszą liczbą punktów na maturze.

Powrót do treści zadania