Funkcja wielomianowa

Podpunkt a) Rozwiązanie równania W(x)=0 dla a=0 i b=1.

Dla a=0 i b=1 wielomian ma postać:

Rozwiązujemy zadane równanie:

Równanie nie ma rozwiązań, gdyż nie istnieje liczba rzeczywista podniesiona do kwadratu o wartości ujemnej.
Jedynym rozwiązaniem równania W(x)=0 jest x = 0.

Odpowiedź: Rozwiązaniem równania W(x)=0 dla a=0 oraz b=1 jest x=0.

Podpunkt b) Znaleźć a oraz b, tak aby wielomian W(x) dzilił sie bez reszty przez (x-2) oraz x.

Na podstawie twierdzenia Bezout otrzymujemy:
W(2) = 0, ponieważ W(x) dzieli się bez reszty przez (x-2)
W(0) = 0, ponieważ W(x) dzieli się bez reszty przez x czyli (x-0)
co daje nam układ równań:

Układ równań: (1): W(2) = 0, (2): W(0) = 0

Układ równań: (1): (1/2)*2^3 - a*2^2 + 2*2 + b - 1 = 0, (2): (1/2)*0^3 - a*0^2 + 2*0 + b - 1 = 0

Układ równań: (1): (1/2)*8 - 4a + 4 + b - 1 = 0, (2): b - 1 = 0

Układ równań: (1): 4 - 4a + 4 + b - 1 = 0, (2): b = 1

Układ równań: (1): - 4a + b = -7, (2): b = 1

Do pierwszego równania podstawiam i otrzymuję:

Odpowiedź: Wielomian W(x) dzieli się przez (x-2) oraz przez x dla a=2 oraz b=1.

Dodatkowy komentarz:

Możemy także napisać wynikową postać wielomianu W(x), który spełnia warunki postawione w punkcie b): dzieli się przez (x-2) oraz przez x - czyli gdy a=2 oraz b=1 :

czyli

Łatwo możemy sprawdzić, że x=2 jest pierwiastkiem powyższego wielomianu W(x) - czyli W(2)=0. Podobnie x=0 jest pierwiastkiem W(x), gdyż W(0)=0.
Nie umieszczajmy jednak tego w treści rozwiązania - nie wymaga tego treść zadania. Ewentualna nadgorliwość i błąd (nawet rachunkowy) może skutkować mniejszą liczbą punktów na maturze, egzaminie czy też sprawdzianie.

Powrót do treści zadania