Cauchy - Szkoła Myślenia www.cauchy.pl//srednia/wielomiany/3/ro     |     Dodaj do ulubionych07 grudzień 2019

Łamigłówki podstawowa

|

Przedszkolaki

|

Kolorowanki

|

Rebusy

|

Krzyżówki

|

Wykreślanki

|

Algorytmy

|

Zabawy

Korepetycje, korepetycje z języka polskiego

Poprzednie PoprzednieDo góry, menu nadrzędne, lista zadań Lista wszystkich tematówNastępne Następne

Funkcja wielomianowa

Szkoła średnia

Rozwiązanie zadania

Podpunkt a) Rozwiązanie równania W(x)=0 dla z=0 i w=0.

Dla z=0 i w=0 wielomian ma postać:
W(x) = -x^3 + 2*z*x^2 + w*x + 1
W(x) = -x^3 + 2*0*x^2 + 0*x + 1
W(x) = -x^3 + 1
Rozwiązujemy zadane równanie:
W(x) = 0
-x^3 + 1 = 0
x^3 - 1 = 0
Korzystając ze wzorów skróconego mnożenia otrzymujemy:
(x-1)(x^2+x+1)=0
x=1 v x^2+x+1=0
Równanie x^2=-4 nie ma rozwiązań, gdyz delta tego równania jest ujemna:
delta = b^2 - 4ac = 1 - 4*1*1 = -3 < 0

Jedynym rozwiązaniem równania W(x)=0 jest x = 1.

Odpowiedź: Rozwiązaniem równania W(x)=0 dla z=0 oraz w=0 jest x=1.

Podpunkt b) Znaleźć z oraz w, tak aby wielomian W(x) dzilił sie bez reszty przez (x-1) oraz (x+1).

Na podstawie twierdzenia Bezout otrzymujemy:
W(1) = 0, ponieważ W(x) dzieli się bez reszty przez (x-1)
W(-1) = 0, ponieważ W(x) dzieli się bez reszty przez (x+1) czyli (x-(-1))
co daje nam układ równań:
Układ równań: (1): W(1) = 0,   (2): W(-1) = 0
Układ równań: (1): -1^3 - 2*z*1^2 + w*1 + 1 = 0,   (2): -(-1)^3 + 2*z*(-1)^2 + w*(-1) + 1 = 0
Układ równań: (1): -1^3 - 2*z*1^2 + w*1 + 1 = 0,   (2): -(-1) + 2*z*(-1)^2 + w*(-1) + 1 = 0
Układ równań: (1): -1 + 2z + w + 1 = 0,   (2): 1 + 2z - w + 1 = 0
Układ równań: (1): 2z + w = 0,   (2): 2z - w = -2
Dodając równania stronami otrzymujemy:
4z = -2 |:4
z = -1/2
Podstawiajac obliczone z = -1/2 do pierwszego równania otrzymujemy:
2*(-1/2) +w = 0; w=1

Odpowiedź: Wielomian W(x) dzieli się przez (x-1) oraz przez (x+1) dla z = -1/2 oraz w=0.

Dodatkowy komentarz:

Możemy także napisać wynikową postać wielomianu W(x), który spełnia warunki postawione w punkcie b): dzieli się przez (x-1) oraz przez (x+1) - czyli gdy z = -1/2 oraz w=0 :
-x^3 + 2*0*x^2 + 0*x + 1
czyli
W(x) = -x^3 - x^2 +x + 1
Łatwo możemy sprawdzić, że x=1 jest pierwiastkiem powyższego wielomianu W(x) - czyli W(1)=0. Podobnie x=-1 jest pierwiastkiem W(x), gdyż W(-1)=0.
Nie umieszczajmy jednak tego w treści rozwiązania - nie wymaga tego treść zadania. Ewentualna nadgorliwość i błąd (nawet rachunkowy) może skutkować mniejszą liczbą punktów na maturze, egzaminie czy też sprawdzianie.

PoprzednieDo góry, menu nadrzędne, lista zadańNastępne
PoprzednieLista wszystkich tematówNastępne


Nie znalazłeś szukanej treści?
Poszperaj w serwisie cauchy.pl lub w sieci.
Google
 

Newsletter

Tak, chcę otrzymywać bezpłatny newsletter:

Imię:

Email:

 
Matury z lat 2002 - 2005. Zadania, rozwiązania zadań, schemat punktacji
 
Tapeta ze wzorami dotyczącymi logarytmów i funkcji logarytmicznej
 
Internetowe kursy maturalne z matematyki
 
(C) 2010 Szkoła Myślenia im. A. L. Cauchy        Napisz Napisz        Praca     Reklama
   korepetycje z matematyki