Funkcja wielomianowa

Podpunkt a) Rozwiązanie równania W(x)=0 dla z=0 i w=0.

Dla z=0 i w=0 wielomian ma postać: Rozwiązujemy zadane równanie: Korzystając ze wzorów skróconego mnożenia otrzymujemy: Równanie nie ma rozwiązań, gdyz delta tego równania jest ujemna:
Jedynym rozwiązaniem równania W(x)=0 jest x = 1.

Odpowiedź: Rozwiązaniem równania W(x)=0 dla z=0 oraz w=0 jest x=1.

Podpunkt b) Znaleźć z oraz w, tak aby wielomian W(x) dzilił sie bez reszty przez (x-1) oraz (x+1).

Na podstawie twierdzenia Bezout otrzymujemy:
W(1) = 0, ponieważ W(x) dzieli się bez reszty przez (x-1)
W(-1) = 0, ponieważ W(x) dzieli się bez reszty przez (x+1) czyli (x-(-1))
co daje nam układ równań: Dodając równania stronami otrzymujemy: Podstawiajac obliczone do pierwszego równania otrzymujemy:

Odpowiedź: Wielomian W(x) dzieli się przez (x-1) oraz przez (x+1) dla oraz w=0.

Dodatkowy komentarz:

Możemy także napisać wynikową postać wielomianu W(x), który spełnia warunki postawione w punkcie b): dzieli się przez (x-1) oraz przez (x+1) - czyli gdy oraz w=0 : czyli Łatwo możemy sprawdzić, że x=1 jest pierwiastkiem powyższego wielomianu W(x) - czyli W(1)=0. Podobnie x=-1 jest pierwiastkiem W(x), gdyż W(-1)=0.
Nie umieszczajmy jednak tego w treści rozwiązania - nie wymaga tego treść zadania. Ewentualna nadgorliwość i błąd (nawet rachunkowy) może skutkować mniejszą liczbą punktów na maturze, egzaminie czy też sprawdzianie.